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Bruchrechnung

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Im Folgenden werden einzelne Zusammenhänge zum Thema Bruchrechnung aufgezählt und erklärt.

Bruch und Bruchzahl

Ein Bruch (Bsp.: 1/2) setzt sich immer aus einer oberen Zahl, dem Zähler, und einer unteren Zahl, dem Nenner, zusammen. Zwischen ihnen Zähler,Bruchstrich,Nenner.png steht der sogenannte Bruchstrich und ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen. Demnach ist 1/2 = 1:2. So gesehen, ist ein Bruch also der Quotient zweier ganzer Zahlen. Hierbei unterscheidet man verschiedene Brüche, die im weiteren Verlauf erläutert werden (s.u.: Gemeine und Gemischte Brüche) (Rausch 2010). Um zu verstehen, wie so ein Bruch zustande kommt, kann beispielsweise ein Kuchen / eine Pizza (in der Abbildung 1 dargestellt als Kreis) zur Veranschaulichung verwendet werden. Der Kuchen wird zunächst als das Ganze (also demnach die Eins als Element der natürlichen Zahlen) betrachtet, das bedeutet, er ist noch nicht angeschnitten und es fehlt noch kein Stück. Wird dieser ganze Kuchen angeschnitten und wie in der Abbildung 1 in vier gleichgroße Teile geteilt, so nennt man jedes der vier entstandenen Teile ein Viertel (1/4). Zusammen sind es also vier ein Viertel Teile (4/4=1), was wieder dem Ganzen entspricht. Fehlt wie in Abbildung 2 ein Viertel der Pizza, so sind drei Viertel (3/4) der ganzen Pizza dargestellt.

           Abbildung1.png            Abbildung 2.png

Jede Bruchzahl kann in unendlich viele verschiedene Bruchdarstellungen, d.h. unendlich vielen verschiedenen Brüchen, die aber alle dieselbe Größe haben, dargestellt werden. Dies kann am besten mit Hilfe eines Zahlenstrahls veranschaulicht werden:

           Abbildung 3.png

Zu jeder Bruchzahl gehört eine Menge von Brüchen, diese Menge bezeichnen alle diese Bruchzahl (Abbildung 3). Das bedeutet also: 1/2=3/6=2/4=4/8=7/14=5/10=6/12=... [1]

Verschiedene Brüche

Gemeine Brüche

Gemeine Brüche sind solche, die in der Schreibweise Zähler-Bruchstrich-Nenner dargestellt werden, d.h. Zähler, Bruchstrich und Nenner werden übereinandergeschrieben. Dabei sind Zähler und Nenner immer Elemente der ganzen Zahlen, wobei der Nenner niemals Null sein darf, denn eine Division durch Null gilt als nicht definiert. Wie bereits erwähnt, kann ein Bruch auch als Divisionsaufgabe gesehen werden, das bedeutet, dass der Zähler dem Dividenden und der Nenner dem Divisor entspricht. Es ist üblich, dass natürliche Zahlen im Zähler und Nenner stehen und sollte ein negatives Vorzeichen auftauchen, so steht dieses vor dem Bruch (-3/10) und nicht im Zähler oder Nenner selbst. Daher schreibt man nicht (-2)/3 oder 2/(-3), sondern -2/3. Für den Fall, dass Zähler und Nenner negativ sind, also beispielsweise (-2)/(-3), so wird der ganze Bruch positiv und lautet 2/3. In der Bruchrechnung ist daher jede Division möglich, außer die durch Null.[2]

Echte und unechte Brüche

Echte Brüche sind solche, bei denen der Betrag des Zählers kleiner ist als der Betrag des Nenners, also z.B. 6/7 oder 3/4. Unechte Brüche sind daher diejenigen Brüche, bei denen der Betrag des Zählers größer oder gleich dem Betrag des Nenners sind, also beispielsweise 5/3 oder 6/6.[3]

Stammbrüche und Zweigbrüche

Ein Stammbruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler gleich 1 ist, also z.B. 1/4 oder 1/12. Alle anderen Brüche, also bei denen der Zähler nicht gleich 1 ist, nennt man Zweigbrüche.[4]

Scheinbrüche

Scheinbrüche sind unechte Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, beispielsweise ist 15/5 ein solcher Bruch. Scheinbrüche nennt man sie deswegen, weil sich durch Kürzen (s.u.) eine ganze Zahl ergibt. Das bedeutet für den Bruch 15/5, dass er der ganzen Zahl 3 entspricht. Zudem lässt sich jede ganze Zahl n in einen Scheinbruch n/1 umwandeln. Dabei entspricht n dem Vielfachen vom Nenner 1.[5]

Gemischte Brüche

Gemischte Brüche oder auch Gemischte Zahlen genannt, ist die Kombination aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Das bedeutet aus der Bruchzahl 4/3 wird die gemischte Zahl 1 1/3, dabei wird bei dieser Schreibweise auf das Pluszeichen zwischen ganzer Zahl und Bruch verzichtet (also 1+1/3).[6] Ein häufiges Problem bei gemischten Brüchen ist die Annahme, dass sich kein Pluszeichen, sondern ein Malzeichen zwischen den beiden Zahlen steht.

Rechenregeln

Wie auch bei den natürlichen Zahlen gibt es im Bereich der Bruchzahlen Rechenregeln, die bei den Grundrechenarten – der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division – zu beachten sind.

Erweitern und Kürzen

Erweitern

Im Kontext der Erweiterung eines Bruchs, spricht man auch von der Verfeinerung, dieses Phänomen kann man sich am besten mithilfe der Abbildung 4 vorstellen, in der ein Quadrat unterteilt wird. Aus dem Bruch 3/4 wird aufgrund einer Verdopplung und einer Vervierfachung der Unterteilungen, aber auch der eingefärbten Teile, der Bruch 6/8=(3*2)/(4*2) (Verdopplung) bzw. bei der Vervierfachung der Bruch 12/16=(3*4)/(4*4). Hierbei gilt aber auch, dass 3/4=6/8=12/16 ist.

       Abbildung 4.png

Demnach entspricht die Verfeinerung des Quadrates der Multiplikation des Zählers und Nenners mit derselben natürlichen Zahl, in dem Beispiel also 2 bzw. 4. Die entstandenen Brüche sind demnach gleichwertig, also entsprechen demselben Bruch (s.o.). Das bedeutet, dass das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl dem Erweitern eines Bruchs entspricht. Einen Bruch kann man beliebig oft erweitern, also mit jeder natürlichen Zahl.[7][8]

Kürzen

Während man im Kontext der Erweiterung von Verfeinerung gesprochen hat, wird im Kontext des Kürzens von der Vergröberung gesprochen. Auch hier wird dies deutlicher beispielsweise anhand eines Rechtecks. Anders als bei der Verfeinerung kann die Vergröberung nur begrenzt durchgeführt werden (siehe Abbildung 5). Wird die Unterteilung wie in der Abbildung 5 vergröbert, so wird aus dem anfänglichen Bruch 8/12 aufgrund von Halbierung und Viertelung der Unterteilungen, und der eingefärbten Teile, der Bruch 4/6=(8:2)/(12:2) bzw. 2/3=(8:4)/(12:4). Hier gilt auch wieder die Gleichwertigkeit der Brüche, also 8/12=4/6=2/3. Anders als beim Verfeinern tritt hier

       Abbildung 5.png

also die Division in den Mittelpunkt. So werden Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl dividiert, man spricht auch von Kürzen. Auffällig ist, dass man nur die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zum Kürzen verwenden kann. Es entsteht also ein erheblicher Unterschied zum Erweitern. Während ein Bruch mit jeder beliebigen natürlichen Zahl erweitert werden kann, treten im Bereich des Kürzens Grenzen auf, da hier nur durch gemeinsame Teiler gekürzt werden kann. Beim Kürzen werden solange Zähler und Nenner mithilfe von gemeinsamen Teilern gekürzt bis sie als gemeinsamen Teiler nur noch die 1 haben. Man nennt sie dann auch teilerfremd. So erhält man schließlich die Grundform des Bruches. Sofern direkt der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner erkannt wird, kann auch in nur einem Schritt gekürzt werden, d.h. es ist nicht nötig mehrere Kürzungsschritte zu durchlaufen.[9][10]

Größenvergleich

Anders als bei den natürlichen Zahlen, bei denen allein anhand der einfachen Ziffernschreibweise eine Aussage darüber getroffen werden kann, welche die größere Zahl von zwei Zahlen ist, ist dies bei Brüchen nicht so einfach. Beim Größenvergleich ist es wichtig zunächst Brüche durch Erweitern gleichnamig zu machen, dass bedeutet der Nenner beider Brüche ist derselbe. Dies kann mit jedem beliebigen Bruch erfolgen. Dabei ist egal, womit man erweitert, da es beliebig viele gemeinsame Nenner gibt. Im Regelfall erweitert man aber so, dass der kleinste gemeinsame Nenner verwendet wird, man spricht auch von dem Hauptnenner. Hierbei werden zwei Sonderfälle unterschieden, bei denen sich der Hauptnenner von zwei Brüchen sehr leicht ermitteln lässt:

1. Wenn der Nenner des einen Bruches den Nenner des anderen Bruches ohne Rest teilt, so ist auf jeden Fall der größere Nenner der Hauptnenner. Bsp.: 2/3 und 1/12. Hier gilt:12÷3=4,also ist 12 der Hauptnenner und somit ist 8/12>1/12.

2. Wenn die beiden Nenner zweier Brüche keinen gemeinsamen Teiler haben außer die 1 (teilerfremd), so ergibt das Produkt beider Nenner den Hauptnenner. Bsp.:1/4 und 1/5. Hier gilt:4*5=20,also ist 20 der Hauptnenner und somit ist 5/20>4/20. Somit gilt für alle Brüche a/c und b/c , dass a/c<b/c ist, wenn a<b.[11] (Padberg 2012, 63f). Bsp.:3/5 und 4/5: 3<4,also ist 3/5<4/5

Rechnen mit Brüchen

Genau wie beim Rechnen mit natürlichen Zahlen gelten auch beim Rechnen mit Brüchen die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Addition

Bei der Addition von Brüchen gilt, dass alle Brüche miteinander addiert werden, solange sie gleichnamig sind. Das bedeutet, sind Brüche nicht gleichnamig (beide Brüche haben denselben Nenner) macht man sie gleichnamig, addiert die Zähler und behält den Nenner bei. Allgemein sieht das dann wie folgt aus: a/c+b/c=(a+b)/c Bei Gemischten Zahlen ist das genauso der Fall. Man betrachtet die Brüche und lässt zunächst die ganzen Zahlen außer Acht. Die Brüche werden also wieder gleichnamig gemacht, sofern sie noch nicht gleichnamig sind, dann wird alles addiert: 12 1/3+15 2/5=12+15+1/3+2/5=27+(5+6)/15=27 11/15.[12][13]

Subtraktion

Bei der Subtraktion von Brüchen geht man genauso wie bei der Addition vor. Sollen zwei Brüche subtrahiert werden, so werden sie zunächst gleichnamig, sollten sie noch nicht gleichnamig sein und subtrahiert anschließend die Zähler voneinander und behält den Nenner bei.[14][15] Bsp.: 4/5-1/2=(8-5)/10=3/10

Multiplikation

Bei der Multiplikation von zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Hierbei betrachtet man zwei verschiedene Fälle, wobei man immer davon ausgeht, dass es ein Produkt der Form a/b*c/d ist.

1. Die Zahl b teilt die Zahl c ohne Rest. Der erste Bruch ist außerdem ein Stammbruch: 1/4*8/9=1/4 von 8/9=8/36=2/9

2. Allgemeiner Fall: 3/4*5/7=3/4 von 5/7=3*(1/4 von 5/7)=3*(1/4 von (4*5)/(4*7))=3*5/28=15/28 Im zweiten Fall teilt der Nenner des ersten Bruches (4) den Zähler des zweiten Bruches (5) nicht, daher wird der zweite Bruch mit 4, so dass der Nenner des ersten Bruches nun auch den Zähler des zweiten Bruches teilt, denn 4|20. Der weitere Rechenweg ist aus Fall 1 bekannt.[16][17][18]

Division

Bei der Division von Brüchen unterscheidet man verschiedene Fälle:

1. Bruch durch natürliche Zahl: Natürliche Zahl ist Teiler von Zähler. 6/7 ∶3=2/7

2. Bruch durch natürliche Zahl: Natürliche Zahl ist kein Teiler von Zähler. 5/7 ∶3=(5*3)/(7*3):3=15/21:3=5/21 Der Bruch wird zunächst mit dem Divisor erweitert und danach wie in Fall durch den Divisor dividiert.

3. Bruch durch Stammbruch: 3/5:1/6=(3/5*6):(1/6*6)=(3*6)/5:1=(3*6)/(5*1)=3/5*6/1

4. Bruch durch beliebigen Divisor (Bruch): 2/5:3/4=(2/5*4):(3/4*4)=(2*4)/5:3=(2*4)/(5*3)=2/5*4/3

Aus Fall 3 und 4 geht hervor, dass die Division zweier Brüche nichts anderes ist als die Multiplikation eines Bruches mit dem Kehrbruch des zweiten Bruches. Bei dem Kehrbruch eines Bruches werden Zähler und Nenner miteinander vertauscht. Das bedeutet der Kehrbruch von 3/4 ist 4/3.[19][20]

Literatur

  1. Padberg, F. & Wartha, S. (2017). Brüche und natürliche Zahlen – viele Gemeinsamkeiten, aber auch starke Umbrüche in den Grundvorstellungen. In: Didaktik der Bruchrechnung. Berlin/Heidelberg: Springer, 151-153.
  2. Michel, G. (1969). Die Bruchrechnung. In: Fachrechnen. Wiesbaden: Gabler Verlag, 44-71.
  3. Michel, G. (1969). Die Bruchrechnung. In: Fachrechnen. Wiesbaden: Gabler Verlag, 44-71.
  4. Michel, G. (1969). Die Bruchrechnung. In: Fachrechnen. Wiesbaden: Gabler Verlag, 44-71.
  5. Michel, G. (1969). Die Bruchrechnung. In: Fachrechnen. Wiesbaden: Gabler Verlag, 44-71.
  6. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  7. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  8. Rausch, U. (2010). Bruchrechnung. http://www2.hs-fulda.de/fb/et/FuldaerBrueckenkursMathematik/Lektionen/Lek_Bruch.pdf
  9. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  10. Rausch, U. (2010). Bruchrechnung. http://www2.hs-fulda.de/fb/et/FuldaerBrueckenkursMathematik/Lektionen/Lek_Bruch.pdf
  11. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  12. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  13. Padberg, F. (1989). Dezimalbrüche – problemlos und leicht? Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 42(7), 387-395.
  14. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  15. Padberg, F. (1989). Dezimalbrüche – problemlos und leicht? Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 42(7), 387-395.
  16. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  17. Prediger, S. (2006). Vorstellungen zum Operieren mit Brüchen entwickeln und erheben. Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11).
  18. Padberg, F. (1989). Dezimalbrüche – problemlos und leicht? Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 42(7), 387-395.
  19. Padberg, F. (2012). Didaktik der Bruchrechnung. 4. Auflage. Berlin/Heidelberg: Springer.
  20. Padberg, F. (1989). Dezimalbrüche – problemlos und leicht? Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 42(7), 387-395.